Bienvenue sur la section Histoire de Daaramath
Carl Friedrich GAUSS est né le 30 avril 1777 à Brunswick. Enfant prodige, il apprit seul à lire et à compter à l'âge de 3 ans. En 1788, Gauss commence son instruction à l'aide de Büttner et Bartels, avec qui il apprend l'allemand et le latin. Remarquant ses aptitudes, le duc de Brunswick lui accorda une bourse en 1792. Carl Friedrich fréquenta le Collège de Brunswick de 1792 à 1795 et formula à cette époque la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers. Cette conjecture fut prouvée par Jacques Hadamard en 1896.
Puis Gauss se rendit à l’université de Göttingen, où il découvrit le théorème fondamental des résidus quadratiques. En 1799, l’université de Helmstedt lui décerna le titre de docteur pour sa thèse sur la discussion du théorème fondamental d'algèbre. Dans cette thèse, Gauss critiqua sévèrement Legendre, Laplace et d'autres grands mathématiciens pour leur manque de rigueur.
Un élève mathématicien qui l’avait rencontré le décrivit comme " ... un homme vénérable, distingué avec l'expression d'un homme heureux. Son aspect et chacun des ses mots dégageaient une extraordinaire impression de puissance. Il avait environ 80 ans, mais on n'apercevait aucune trace de vieillesse ".
Dans la salle de lecture de Göttingen, Gauss faisait une étude soigneuse des journaux étrangers, et en particulier, des nouvelles financières. Cela lui permit de gérer une fortune personnelle considérable par des spéculations boursières.
Carl Friedrich Gauss mourut à Göttingen, dans son sommeil tôt le matin du 23 février 1855.
Gauss publia peu de son vivant, mis à part un traité d’arithmétique Disquisitiones arithmeticae, (1801), un ouvrage de géométrie Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) et une Théorie générale du magnétisme terrestre (1839). Bon nombre de ses idées, comme celles relatives à la géométrie non euclidienne, ne figurent ainsi que dans sa correspondance.
SON OEUVRE
Carl Friedrich Gauss a travaillé en mathématiques et en physique incluant la théorie des nombres, l'analyse, la géométrie différentielle, la géodésie*, le magnétisme, l'astronomie et l'optique. Son travail a eu une influence immense dans beaucoup de domaines.
Travaux en mathématiques
Dans le domaine des probabilités, son nom demeure attaché à la loi normale, dite de Laplace-Gauss, dont la répartition est décrite par la fameuse courbe en cloche, appelée également courbe de Gauss. Cette loi statistique intervient dans les processus aléatoires continus (voir " statistiques ").
® En géométrie
En 1796, Gauss découvrit une solution au problème de construction du polygone régulier de 17 côtés, à la règle et au compas. Poursuivant ses investigations, il démontra que la construction, à la règle et au compas, d’un polygone régulier comportant un nombre impair de côtés n’était possible que pour un nombre égal à l’un des nombres premiers 3, 5, 17, 257 ou 65537, ou à un produit de ces nombres (voir " construction de polygones réguliers "). Par ailleurs, il s’intéressa à la géométrie des surfaces courbes, développée en termes de coordonnées intrinsèques, dites gaussiennes. Cette géométrie particulière, qui ne tient pas compte de l’espace dans lequel se trouve la figure géométrique à étudier, fut à l’origine d’une réflexion plus vaste sur les premiers espaces courbes non euclidiens.
® En algèbre
En 1799, Gauss proposa une première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, qui stipule que le nombre de racines d’une équation algébrique est égal au degré de cette équation. Ce théorème, dont la démonstration avait résisté aux mathématiciens les plus célèbres, est aussi appelé aujourd’hui le théorème de d’Alembert-Gauss. Gauss étudia également certaines séries particulières, les séries hypergéométriques, dont il donna les conditions rigoureuses de convergence.
En théorie des nombres, Gauss se révéla très précoce. Encore étudiant, il retrouva de manière rigoureuse les principaux résultats connus depuis Euclide. Puis, il proposa une représentation géométrique des nombres complexes comme points du plan, utilisant ce résultat pour traiter l’équation complexe.
Travaux en physique
A partir de 1801, Gauss se pencha avec un intérêt croissant sur l’astronomie. Il calcula ainsi les orbites de petits astéroïdes tels Cérès et Pallas. L'astéroïde Cérès avait été brièvement observé en janvier 1801 mais, après une étude de 41 jours, avait été perdu dans l'éclat du soleil. Gauss calcula son orbite en utilisant la méthode des moindres carrés et prédit correctement où et quand Cérès réapparaîtrait. Après cette réussite il accepta un poste d'astronome à l'observatoire de Göttingen.
En 1820 Gauss inventa l'héliotrope, un instrument muni d'un miroir mobile qui réfléchissait les rayons du soleil ; il fut utilisé en géodésie*. Pendant la fin des années 1820, en collaboration avec le physicien Wilhelm Weber, Gauss explora diverses branches de la physique et effectua des recherches de base en électromagnétisme, en mécanique, en acoustique et en optique. Tous deux découvrirent ainsi les lois de Kirchhoff et construisirent le premier télégraphe, capable d’envoyer des messages sur une distance de 1500m.
*géodésie : science de la forme et des dimensions de la Terre
Statistiques
Les statisticiens se sont aperçus que de nombreux ensembles de mesures avaient le même type de distribution. Par exemple, l’ensemble des masses de N haricots prélevés au hasard dans un sac a le même type de distribution que l’ensemble des pressions barométriques enregistrées par différents étudiants lisant successivement sur le même baromètre. Les scientifiques ont donc été amenés à concevoir des modèles mathématiques qui soient le reflet des lois statistiques souvent rencontrées. L’une de ces lois, appelée loi normale, correspond au cas où la densité de probabilité y en fonction de la valeur x peut s’écrire sous la forme :
La représentation graphique de cette relation est une courbe en forme de cloche appelée courbe de distribution normale :
Si une variable x a une dimension normale, la probabilité que x soit compris entre a et b est donnée par l’expression :
Construction de polygones réguliers
On dit qu’un angle est constructible à la règle et au compas s’il peut être considéré comme l’angle polaire d’un point constructible. La construction d’un polygone régulier à n côtés se ramène donc à la constructibilité de l’angle 2p /n.
En 1801, Gauss montra que, si n=2a avec a ≥2, ou si n=1+2(2p), alors 2p /n est constructible.
Les nombres de la forme n=1+2(2p) s’appellent des nombres de FERMAT (Pierre de, 1601-1665). Pour p=1, on obtient n=5, et pour p=2, on obtient n=17, d’où la " constructibilité " de ces deux polygones. Pour un nombre de côtés inférieur à 20, on peut construire les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 et 20 côtés, mais pas ceux à 7, 9, 11, 13, 14, 18 et 19 côtés.
La construction des polygones à 3, 4, 5 et 15 côtés était connue d’Euclide (début du IIIè
siècle avant J.-C.), la construction du polygone à 17 côtés a été
découverte par Gauss, en 1796, à l’âge de 19 ans. La formule qu’il a
trouvée est :
16cos(2p /17) = - 1+√17+√34- 2√17
+√68+12√17+2(-1+√17)√34-2√17-16√34+2√17
Al-Khawarizmi, né vers 783, originaire de Khiva dans la région du Khwarezm qui lui a donné son nom, mort vers 850 à Bagdad, est un mathématicien, géographe, astrologue et astronome musulman perse dont les écrits, rédigés en langue arabe, ont permit l'introduction de l'algèbre en Europe. Il est à l'origine des mots algorithme (qui n'est autre que son nom latinisé) et algèbre (issu d'une méthode et du titre d'un de ces ouvrages) ou encore de l'utilisation des chiffres arabes dont la diffusion dans le Moyen-Orient et en Europe provient d'un autre de ces livres (qui lui-même traite des mathématiques indiennes) et de l'habitude de désigner l'inconnue par la lettre x dans une équation. Son apport en mathématiques fut tel qu'il est également surnommé « le père de l'algèbre », avec Diophante dont il reprendra les travaux. En effet, il fut le premier à répertorier de façon systématique des méthodes de résolution d'équations en classant celles-ci. Il ne faut pas confondre ce savant avec un autre mathématicien perse : Abu-'Abdollâh Mohammad Khuwârizmi qui lui est l'auteur de Mafâtih al-'Olum (ouvrage de mathématiques écrit vers 976). Un cratère de la Lune a été nommé en son honneur : Al-Khwarizmi (cratère). En mathématiques : Première page du Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala Il est l'auteur de plusieurs ouvrages de mathématiques dont l'un des plus célèbres est intitulé kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābalah (كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة), ou Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, publié en 825. Ce livre contient six chapitres, consacré chacun à un type particulier d'équation. Il ne contient aucun chiffre. Toutes les équations sont exprimées avec des mots. Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou mâl, l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, la constante est le dirham ou adǎd. Le mot « shay » (šay) – littéralement « chose » – utilisé par Al-Khawarizmi, transcrit en xay en espagnol ancien, est à l'origine de l'utilisation de X dans une équation pour désigner l'inconnue. Le terme al-jabr4 fut repris par les Européens et devint plus tard le mot algèbre. Un autre ouvrage, qui ne nous est pas parvenu, Kitāb 'al-ĵāmi` wa'l-tafrīq bī h'isāb 'al-Hind (كتاب الجامع و التفريق بحساب الهند, « Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul indien »), qui décrit le système des chiffres « arabes » (en fait, empruntés aux Indiens), qui fut le facteur de la diffusion de ces chiffres dans le Moyen-Orient et en Europe. En astronomie : Al-Khawarizmi est l'auteur d'un zij, paru en 820, et connu sous le nom de Zīj al-Sindhind (Table indienne). Le principe des algorithmes était connu depuis l'Antiquité (algorithme d'Euclide), et Donald Knuth mentionne même leur usage par les Babyloniens.
Abu Kamil, Shuja ibn ʿ Aslam ibn Muhammad ibn ʿ Shuja (latinisé en Auoquamel, arabe [1]: ابو كامل, également connu comme al-Hasib al-Misri, littéralement, "le calculateur égyptien") (c. 850 - c. 930 ) était un mathématicien musulman égyptien pendant l'âge d'or islamique. Abu Kamil a apporté d'importantes contributions à l'algèbre et la géométrie. Il est considéré le premier mathématicien à utiliser systématiquement et à accepter des nombres irrationnels comme des solutions. Et aussi comme coefficients d'équations. Ses techniques mathématiques ont ensuite été adoptées par Fibonacci, permettant ainsi à Abu Kamil de jouer un role important à l'introduction de l'algèbre en Europe. Abu Kamil a été aussi le premier mathématicien islamique à manipuler facilement les équations algébriques avec des puissances supérieures à x^2 (jusqu'à x^8) et de résoudre des ensembles d'équations non-linéaires à trois inconnues. Il a écrit tous les problèmes de manière littérale, et certains de ses livres n'avait aucune notation mathématique à part des nombres entiers. Par exemple, il utilise l'expression arabe «mal ʾ shay Mal "("carré-carré-chose») pour x^5 (c-à-d x^2 . x^2 . x).
Dans ce livre, connu sous le nom Kitab fi al-jabr wa al-muqabala, Abu Kamil résout des systèmes d'équations dont les solutions sont des nombres entiers ou des fractions. Il a accepté les nombres irrationnels (sous la forme d'une racine carrée ou d'une racine quatrième) comme solutions et coefficients d'équations du second degré. C'est peut-être le travail le plus influent d'Abu Kamil. Il y vise à remplacer et généraliser celle de Al-Khawarizmi. Considérant que "Algèbre" d'Al-Khawarizmi était destiné au grand public, Abu Kamil s'adressait à d'autres mathématiciens et les lecteurs familiers avec les "Éléments d'Euclide". Le premier chapitre enseigne l'algèbre en résolvant les problèmes d'application à la géométrie, impliquant souvent une variable inconnue et les racines carrées. Le deuxième chapitre traite des six types de problèmes rencontrés dans le livre de Al-Khawarizmi, mais dont certains, en particulier ceux contenant x^2, étaient maintenant travaillé directement au lieu de la première résolution de x, et maintenant aussi accompagnés d'illustrations géométriques et de preuves. Le troisième chapitre contient des exemples de nombres irrationels quadratiques comme solutions et coefficients. Dans le quatrième chapitre, ces irrationalités sont utilisées pour résoudre des problèmes de polygones. Le reste du livre contient des ensembles d'équations et de systèmes pour une période indéterminée, des problèmes avec des applications dans des situations réalistes et irréalistes, ces dernières représentant des mathématiques récréatives. Un certain nombre de mathématiciens musulmans ont écrit des commentaires sur ce travail, y compris al-Hasib Istakhri et ʿ ibn Ali Ahmad al-ʿ Imrani (d. 955-6), mais les deux commentaires ont été perdus. En Europe, un travail similaire à ce livre apparait dans les écrits de Fibonacci, et certaines sections ont été incorporées et améliorées dans l'ouvrage en latin de Jean de Séville, "mahameleth Liber". Une traduction partielle en latin a été faite au 14ème siècle par Guillaume de Luna , et au 15ème siècle, toute l'œuvre est aussi apparue dans une traduction en hébreu par Mordekhai Finzi.
Kitâb al-ṭarā'if fi'l-hisab, décrit un certain nombre de procédures systématiques pour trouver des solutions intégrales pour les équations indéterminées. [2] Il est également la plus ancienne source connue en arabe où des solutions sont recherchées pour le type d' équations indéterminées trouvées dans le livre de Diophante "Arithmetica". Dans ce livre, Abu Kamil explique certaines méthodes qu'on ne trouve pas dans "Arithmetica". Il décrit aussi un problème pour lequel il a trouvé 2678 solutions.
Kitâb al-... mukhammas Wa'al-mu'ashshar. Dans ce traité des méthodes algébriques sont utilisées pour résoudre des problèmes géométriques. Abu Kamil a calculé une approximation numérique pour le côté d'un pentagone régulier dans un cercle de rayon 10 en utilisant l'équation x^4 + 3125 = 125 x^2. Certains des calculs utilisent le nombre d'or. Fibonacci était au courant de ce traité et en fait un large usage dans son "Geometriae Practica".
Kitâb al-Tair, un petit traité apprenant comment résoudre des systèmes linéaires avec indéterminée et trouver les solutions intégrales positives. Le titre est dérivé d'un type de problèmes connus dans l'Orient, qui impliquent l'achat de différentes espèces d'oiseaux. Abu Kamil a écrit dans l'introduction: "Je me suis retrouvé devant un problème que j'ai résolu et pour lequel j'ai découvert un grand nombre de solutions. Ayant cherché en profondeur les solutions, j'ai obtenu 2676 les bonnes. Mon étonnement à ce sujet a été grand, mais j'ai découvert que, quand j'ai raconté cette découverte, ceux qui ne me connaissaient pas ont été arrogants, choqués, et se méfiaient de moi. J'ai donc décidé d'écrire un livre sur ce genre de calculs, dans le but de faciliter son traitement et le rendre plus accessible". Selon Jacques Sesiano, Abu Kamil est resté apparemment sans précédent tout au long du moyen âge en essayant de trouver toutes les solutions possibles à certains de ses problèmes.
Kitâb al-misāḥa wa al-Handassa, un manuel de géométrie pour les non-mathématiciens, comme les géomètres et les autres fonctionnaires du gouvernement.
Abu Kamil écrivit un traité perdu sur l'utilisation d'une double fausse position, connu comme le Livre des deux erreurs (Kitāb al-khaṭaʾayn). Un autre travail perdu de Abu Kamil est le "Livre sur l'augmentation et la diminution" (Kitâb al-jam wa al-ʿ tafriq), qui a gagné plus d'attention après que l'historien Franz Woepcke l'a lié avec l'ouvrage latin "Liber augmenti diminutionis". Il a également écrit le "Livre du partage d'héritage avec les moyens de l'Algèbre" (Kitâb al-Wasaya bi wa al-jabr al-muqabala). Ce livre contient des solutions algébriques pour les problèmes de l'héritage islamique et discute les opinions des juristes connus. Ibn al-Nadim, dans son Fihrist, a énuméré les titres suivants: "Livre sur la Fortune" (Kitâb al-Falah), "Livre de la clé de la Fortune" (Kitâb al-Falah miftah), "Livre de la suffisance" (Kitâb al-Kifaya), et le "Livre du noyau" (Kitâb al-ʿasir) [5].
Les travaux d'Abu Kamil ont influencé d'autres mathématiciens, comme al-Karaji et Fibonacci. Il a ainsi eu un impact durable sur le développement de l'algèbre. Beaucoup de ses exemples et techniques algébriques ont ensuite été copié par Fibonacci dans son "Practica Geometriae" et d'autres oeuvres. Ce sont des emprunts indubitables, mais Abu Kamil n'a jamais été explicitement mentionné et peut-être emprunté de traités perdus. Il est copié aussi dans le "Liber Abaci" de Fibonacci.
Abu Kamil a résolu les équations non linéaires simultanées à trois inconnues: (1) x + y + z = 10, (2) x ^ 2 + y 2 = z ^ 2, (3) xy = z ^ 2. Il le fait en faisant d'abord un choix arbitraire d'un nombre non nul x_0, pour x (il choisit x = 1), et résout ensuite (2, 3) pour y_0 et z_0 correspondant. Puisque le 2 et 3 sont homogènes, toute solution de (2, 3) sera également une solution si x, y et z sont multipliés par une constante quelconque. En particulier, si elles sont multipliées par 10 / (x_0 + y_0 + z_0), elles seront toujours solutions de (2) et (3), et permettra également de résoudre (1) par construction.
Presque rien n'est connu au sujet de la vie et la carrière d'Abu Kamil, sauf qu'il était un successeur d'al-Khawarizmi, qu'il n'a jamais rencontré personnellement. Il a également été l'un des premiers mathématiciens à reconnaître les contributions d'Al-Khwarizmi à l'algèbre, et l'a défendu contre Ibn Barza qui a attribué l'autorité et la précédence dans l'algèbre de son grand-père, ʿ Abd al-Hamid ibn Turk. Abu Kamil a écrit dans l'introduction de son "Algèbre": "J'ai étudié avec beaucoup d'attention les écrits des mathématiciens, examiné leurs assertions, et examiné ce qu'ils expliquent dans leurs travaux. Je constate donc que le livre de Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi connu sous le nom d'"Algèbre" est supérieur quant à la précision de son principe et la justesse de son argumentation. Il nous appartient donc et à la communauté des mathématiciens, de reconnaître sa précédence et sa supériorité. Car, en écrivant son livre sur l'algèbre, il a été un initiateur et le découvreur de ses principes."
Copyright © 2008-2011 daaramath
contact[arobase]daaramath.com