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Olympiade 1999
Bucarest, Roumanie

Problème 1

Dans le plan, déterminer tous les ensembles finis S, constitués d'au moins trois points, qui vérifient la propriété suivante :
pour tout couple de points distincts A et B de S, la médiatrice du segment AB est un axe de symétrie de S.

Problème 2

Soit n un entier fixé, supérieur ou égal à 2.
(a) Déterminer la plus petite constante C telle que, pour tout ensemble $x_1,\ldots , x_n$ de réels positifs ou nuls on ait l'inégalité :
$\sum_{1\leq i<j\leq n} x_i x_j \left(x_i^2+x_j^2\right)\leq C \left(\sum_{1\leq i \leq n} x_i\right)^4$

(b) Pour cette constante C, déterminer les cas d'égalité.

Problème 3

On considère un tableau carré de côté n, où n est un entier pair, strictement positif, fixé. Le tableau est divisé en carrés unité. On dit que deux carrés distincts du tableau sont adjacents si et seulement s'ils ont un côté en commun.
On marque N carrés unité de ce tableau de telle sorte que chaque carré unité de ce tableau (marqué ou non marqué) soit adjacent à au moins un carré marqué.
Déterminer la plus petite valeur possible de N.

Problème 4

Déterminer tous les couples $\left(n,p\right)$ d'entiers strictement positifs tels que :
p est un nombre premier,
$n \leq 2p$ ,
et $\left(p-1\right)^n + 1$ est divisible par $n^{p-1}$ .

Problème 5

Deux cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont intérieurs au cercle $\Gamma$ , et sont tangents à $\Gamma$ respectivement en les points distincts M et N. Le cercle $\Gamma_1$ passe par le centre de $\Gamma_2$ . La droite contenant les deux points d'intersection de $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ rencontre $\Gamma$ en A et B. Les droites MA et MB coupent $\Gamma_1$ respectivement en C et D.
Montrer que la droite CD est tangente au cercle $\Gamma_2$ .

Problème 6

Déterminer toutes les applications $f : \R \rightarrow \R$ telles que :
$f(x-f(y))=f(f(y)) + x f(y) + f(x) - 1$
pour tous $x, y \in \R$ .